LAS ECUACIONES

ECUACIÓN

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¿Qué es una Ecuación?

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una (o más) incógnita. Normalmente, la incógnita es x. 

La incógnita x representa al número (o números), si existe, que hace que la igualdad sea verdadera. Este número desconocido es la solución de la ecuación.

Al cambiar la x por la solución, la igualdad debe ser cierta.

Ejemplo

x+2 = 2·x-1

• Si x es 0, la igualdad no se cumple porque 0+2  no es igual a 2·0-1.
• Si x es 3, la igualdad sí se cumple porque 3+2  es igual a 2·3-1.

La solución de la ecuación es x = 3.

Algunas cuestiones…

Algunas cuestiones que suelen hacerse los alumnos son las siguientes:

• ¿Todas las ecuaciones tienen solución?
• ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?
• ¿Cuántos tipos de ecuaciones hay?
• ¿Puede haber más de una incógnita?
• 
  

• Respuestas a las cuestiones:

• No todas las ecuaciones tienen solución. Por ejemplo, la ecuación x + 1 = x – 1 no tiene ninguna solución.
• Una ecuación puede tener 0 soluciones, 1 solución, 2 soluciones, 3 soluciones, etc. El número de ecuaciones depende del tipo de ecuación.
• Algunos tipos de ecuaciones son: ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones exponenciales, ecuaciones logarítmicas, ecuaciones irracionales, etc.
• Sí puede haber más de una incógnita en una ecuación, pero según el tipo de ecuación podremos o no resolverla.

Este es el primer nivel de ecuaciones de segundo grado. Vamos a definir este tipo de ecuaciones y a clasificarlas en completas e incompletas.

En este nivel no vamos a resolver las ecuaciones (lo haremos en los siguientes), sino que vamos a aprender a

• Identificar una ecuación cuadrática (problema 1)
• Identificar los coeficientes (problema 2)
• Escribir la ecuación en forma general (problema 3)
• Clasificar la ecuación en completa o incompleta (problema 4)
• Comprobar las soluciones (problema 5)

Niveles en los que sí resolveremos ecuaciones:

Nivel 3: Resolver ecuaciones incompletas
Nivel 4: Resolver ecuaciones completas
Nivel 5: Ecuaciones con soluciones complejas

A. Definición y forma general

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Definición de ecuación cuadrática, forma general, coeficientes, soluciones y ejemplos.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado 2.

Todas las ecuaciones cuadráticas pueden escribirse de la siguiente forma (llamada forma general):

$$a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$$

o bien, si omitimos los puntos multiplicativos,

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Las letras $a$, $b$ y $c$ son los coeficientes de los monomios y representan a números cualesquiera, pero siendo siempre $a\ne 0$.

La letra $x$ es la incógnita de la ecuación y representa al número (o números) desconocido que hace que la igualdad sea verdadera. Resolver la ecuación consiste en encontrar este número, llamado solución de la ecuación.

El coeficiente $a$ se denomina coeficiente director y $c$ se denomina término independiente.

Lo que distingue a las ecuaciones de segundo grado con las de primer grado es la presencia del monomio $a\cdot x^2$ (por eso tiene que ser $a\ne 0$). Este monomio es el responsable de que la ecuación pueda tener hasta dos soluciones.

• Ejemplo 1: la ecuación
  $$x^2+2x+1=0$$
  es una ecuación cuadrática en forma general y sus coeficientes son $a=1$, $b=2$ y $c=1$.
  Esta ecuación sólo tiene una solución: $x=-1$. Para comprobarlo, sólo tenemos que sustituir en la ecuación la incógnita $x$ por $-1$:
  $$(-1{)}^2+2\cdot (-1)+1=0$$
  $$1-2+1=0$$
  $$0=0$$
• Ejemplo 2: la ecuación
  $$x^2-4=0$$
  es una ecuación cuadrática en forma general y sus coeficientes son $a=1$, $b=0$ y $c=-4$.
  Esta ecuación tiene dos soluciones: $x=-2$ y $x=2$. Comprobamos las soluciones:
  Si $x=-2$, entonces
  $$(-2{)}^2-4=0$$
  $$4-4=0$$
  $$0=0$$
  Si $x=2$, entonces
  $$2^2-4=0$$
  $$4-4=0$$
  $$0=0$$

B. Tipos de ecuaciones

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Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en dos tipos según sus coeficientes $a$, $b$ y $c$ en completas e incompletas.

No hay relación entre el número de soluciones de la ecuación y el tipo de ecuación (completa o incompleta).

Ecuación Completa

La ecuación es completa cuando los tres coeficientes $a$, $b$ y $c$ son distintos de 0.
Ejemplos de ecuaciones completas:

• $x^2+x+1=0$
• $2x^2-x+3=0$
• $-x^2+5x-3=0$

Ecuación Incompleta

Una ecuación cuadrática es incompleta cuando uno o los dos coeficientes $b$ y $c$ son 0. Por tanto, tenemos tres subtipos:

• Si $b=0$ y $c=0$, la ecuación tiene la forma
  

  $$a{x}^2=0$$

• Si $b\ne 0$ y $c=0$, la ecuación tiene la forma
  

  $$a{x}^2+bx=0$$

• Si $b=0$ y $c\ne 0$, la ecuación tiene la forma
  

  $$a{x}^2+c=0$$

Fuente: https://www.ecuacionesresueltas.com/segundo-grado/nivel-1/ecuaciones-segundo-grado-cuadraticas-completas-incompletas-explicadas.html

ACTIVIDAD

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