¿Qué son las ecuaciones racionales?

Las ecuaciones que contienen expresiones racionales se llaman ecuaciones racionales. Por ejemplo,
es una ecuación racional.

Puedes resolver estas ecuaciones usando técnicas para realizar operaciones con expresiones racionales y los procedimientos para resolver ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones racionales pueden ser útiles para representar situaciones de la vida cotidiana y para encontrar soluciones para problemas reales. En particular, son buenas para describir relaciones distancia-velocidad-tiempo y para modelar problemas que involucren más de una persona.
Un método para resolver ecuaciones racionales es reescribir las expresiones racionales en términos de un común denominador. Luego, como sabes que los denominadores son iguales, puedes resolver la variable. Para ilustrar esto, veamos una ecuación muy simple.

Como el denominador en cada expresión es el mismo, los numeradores deben ser equivalentes. Esto significa que x = 2.
Esto es válido también para las ecuaciones racionales con polinomios.

Como los denominadores de cada expresión racional son los mismos, x + 4, los numeradores deben ser equivalentes para que la ecuación sea válida. Entonces, x – 5 = 11 y x = 16.
Al igual que con las ecuaciones algebraicas, puedes comprobar tu solución en la ecuación racional original sustituyendo el valor de la variable en la ecuación y simplificar.


Cuando los términos en una ecuación racional tienen denominadores distintos, resolver la ecuación implicará algunos pasos extra. Una manera de resolver ecuaciones racionales con denominadores distintos, es multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de todas las fracciones contenidas en la ecuación. Esto elimina los denominadores y convierte la ecuación racional en una ecuación polinómica. Aquí hay un ejemplo.
Ejemplo
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Problema
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Resolver la ecuación
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4 = 2 • 2
8 = 2 • 2 • 2
MCM = 2 • 2 • 2
MCM = 8
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Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de 4 y 8. Recuerda, para encontrar el MCM, identifica la cantidad mayor de veces que cada factor aparece en cada factorización. Aquí, 2 aparece 3 veces, entonces 2 • 2 • 2, o 8, será el MCM.
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El MCM de 4 y 8 es también el mínimo común denominador de las dos fracciones.
Multiplica ambos lados de la ecuación por el común denominador, 8, para mantener la ecuación balanceada y eliminar los denominadores.
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Simplifica y resuelve x.
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Comprueba la solución sustituyendo 9 por x en la ecuación original.
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Respuesta
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Otra manera de resolver una ecuación racional con denominadores distintos es reescribir cada término con un común denominador y luego simplemente crear una ecuación a partir de los numeradores. Esto funciona porque si los denominadores son iguales, los numeradores deben ser iguales. El siguiente ejemplo muestra este método con la misma ecuación que acabas de resolver:
Ejemplo
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Problema
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Resolver la ecuación
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Multiplica el lado derecho de la ecuación por
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Como los denominadores son iguales, los numeradores deben ser iguales para que la expresión sea válida. Resuelve x.
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Respuesta
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En algunas circunstancias, necesitarás tomar algunos pasos adicionales para encontrar el común denominador. Considera el siguiente ejemplo, que ilustra el uso de lo que sabes sobre denominadores para reescribir una de las expresiones en la ecuación.
Ejemplo
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Problema
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Resolver la ecuación
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Reescribe la expresión usando un común denominador.
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Como el denominador para cada expresión es 3, los numeradores deben ser iguales.
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Comprueba la solución en la ecuación original.
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Respuesta
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También pudiste haber resuelto este problema multiplicando por 3 cada término en la ecuación para eliminar todas las fracciones. A continuación se muestra como resultaría.
Ejemplo
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Problema
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Resolver la ecuación
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Ambas fracciones en la ecuación tienen un denominador de 3. Multiplica por 3 ambos lados de la ecuación (no sólo las fracciones!) para eliminar los denominadores.
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Aplica la propiedad distributiva y multiplica 3 por cada término dentro del paréntesis. Luego simplifica y resuelve x.
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Respuesta
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Algunas expresiones racionales tienen una variable en el denominador. Cuando sucede esto, hay un paso extra para resolverlas. Como la división entre 0 no está definida, debes excluir los valores de la variable que resultarían en un denominador igual a 0. Estos valores se llaman valores excluidos. Veamos otro ejemplo.
Ejemplo
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Problema
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Resolver la ecuación
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5 es un valor excluido porque haría el denominador x - 5 igual a 0.
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Determina los valores de x que harían el denominador 0.
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Como el denominador de cada expresión en la ecuación es el mismo, los numeradores deben ser iguales. Iguala los numeradores uno con otro para resolver x.
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Comprueba la solución en la ecuación original.
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Respuesta
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